martes, 4 de noviembre de 2014
lunes, 3 de noviembre de 2014
viernes, 3 de octubre de 2014
jueves, 18 de septiembre de 2014
lunes, 15 de septiembre de 2014
domingo, 10 de agosto de 2014
Signos de desigualdad
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
=
igual a
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la
escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que
tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable
se llama inecuación.
Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos: 3 <
4, 4 > 3
INTERVALOS: Son regiones
comprendidas entre dos números reales.
En general, si los extremos
pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,
si por el contrario no
pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si
uno de extremos pertenece al
conjunto y el otro no, se dice que
semiabierto o semicerrado.
Las desigualdades se pueden graficar en la recta numérica. Abajo se
muestran tres ejemplo de desigualdades y sus gráficas
Cada una de estas gráficas empieza con
un círculo — ya sea un círculo abierto o uno cerrado (rellenado). Este punto
normalmente se llama punto final de la solución. Un círculo
cerrado, o rellenado, se usa para representar desigualdades del tipo mayor
o igual a (≥) o del tipo menor o igual a (≤). El punto es parte de la solución. Un círculo abierto se usa para mayor
que (>) o menor que (<). El punto noes
parte de la solución.
La gráfica se extiende infinitamente en una dirección. Esto se muestra
con una línea con una flecha. Por ejemplo, observa que para la gráfica de
x≥-3 mostrada
arriba, el punto final es −3, representado con un círculo cerrado porque la
desigualdad es mayor o igual a −3. La línea azul se dibuja
hacia la derecha del número porque los valores del área son mayores que −3.
La flecha indica que las soluciones continúan indefinidamente.
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Tema 4: Signos de desigualdad
¿Qué es la desigualdad?
¿Qué es la desigualdad?
Relación entre dos expresiones que no son iguales, con frecuencia se
escriben con los símbolos >, >, < y <, que
significan mayor que, mayor o igual que, menor que, menor o igual que,
respectivamente.
Por ejemplo, "4
es mayor que 3" se puede escribir como "4 > 3". Las
desigualdades que sólo contienen valores numéricos son verdaderas (como 4 >
3) o falsas (como 1 > 2).
Las desigualdades que
también contienen variables, por lo general serán verdaderas para algunos
valores de la variable. Resolver una desigualdad para una variable significa
encontrar el conjunto solución de una desigualdad equivalente que tenga la
forma de x < a, x < a, x > a, o x > a,
o las intersecciones o uniones de los conjuntos que tengan estas formas. Una
desigualdad se resuelve en mucho de la misma manera que una ecuación.
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2x - 1 > 9
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desigualdad original
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|
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2x > 10
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propiedad de la suma (sumando 1)
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x > 5
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propiedades de la división (dividiendo entre 2)
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Cuando se suma o
resta la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad verdadera, ésta sigue
siendo verdadera. Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad
verdadera por la misma cantidad positiva, sigue siendo verdadera. Sin embargo, si
su multiplican o dividen ambos lados de una desigualdad verdadera por la misma
cantidad negativa, la desigualdad debe invertirse.
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Tema 3: ¿Qué es la desigualdad?
lunes, 4 de agosto de 2014
Propiedades de los números reales
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales:
Elemento identidad
|
Suma: a + 0 = 0 + a = a
|
Producto: a . 1 = 1 . a = a
|
Elemento inverso
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Suma: a + (–a) = –a + a = 0
|
Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a0
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Ley Asociativa
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Suma: a + (b + c) = (a + b) + c
|
Producto: a . (b . c) = (a . b) . c
|
Ley Conmutativa
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Suma: a + b = b + a
|
Producto: a . b = b . a
|
Ley Distributiva
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Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac
| |
Cerradura
|
Suma: a+b €R
|
Producto:a . b €R
|
EJEMPLOS:
|
Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.
A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.
B) (x + y) z = xz + yz. Respuesta: ley distributiva.
C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.
D) (8)(1)=8. Respuesta: elemento de identidad para el producto
E) 5 (7+(-3))=5(7)+5(-3) Respuesta: ley asociativa del producto
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:
6+7=7+6=13
6·7=7·6=42
Importante:
La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.
6-7≠7-6
6/7≠7/6
Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:
3+(4+5)=(3+4)+5=12
3·(4·5)=(3·4)·5=60
Importante:
La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.
3-(4-5)≠(3-4)-5
3÷(4÷5)≠(3÷4)÷5
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas.
3·(4+5)=(3·4)+(3·5)=27
Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:
25+0=25, El elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:
25·1=25, El elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28+(-28)=0 El inverso aditivo para esta suma es el número -28
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.
28 · (1/28)=1 El inverso multiplicativo para esta multiplicación es 
Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:
2,7 € R, 2+7=9, 9 € R
2,7 € R, 2·7=14, 14 € R
Importante:
La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.
2, 7 € R, 2-7=-5, -5 € R
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Tema 2: Propiedades de los números reales
Números reales
NÚMEROS REALES
Se representan por la letra R
Los números reales son los números: 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9
Son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Subconjunto de los números Reales:
Números racionales
-3/4, 5/8, 31/7
Números enteros
-7, -1, 0, 5, 20
Números irracionales
se utiliza mas en álgebra
Números trascendentales
E,in (2)
1.- Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor.
(-5)=5 (-9)=9
Ahora sume los valores absolutos
(-5) + (-9)= 5+9= -14
Como ambos números son negativos, suma debe ser negativa. Así,
-5+(-9)=-14
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
(3)=3 (-8)=8
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo:
(-9)(-3)=27 Los números tienen signos iguales, ambos negativos.
-4 (5/12)=-5/3 Los números tienen diferente signo.
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
a*0=0*a=0
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
-24 – 4
-24/4-6 Los números tienen diferente signo
-55 +(-5)
-55/5=11 Los números tienen signos iguales, ambos negativos
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
a/-b=-a/b=-a/b
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TEMA 1.- Números reales
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